SISTEMAS DINÁMICOS

Ejercicio 03 (Tarea 20/Viii/2015)

 

La solución general de

 

4t^2 y'' + 12t y' + 3y = 0

 

(para t >0) es la función

 

 y(t) = K1 t^(-3/2) + K2 t^(-1/2)

 

Hallar la solución para los valores inicales  y0 = 1/2, y1 = -1/6 en t=4

 

La función en t=4 es

 

y(4) = K1 (4)^(-3/2) + K2 4^(-1/2)  

 

además 4= 2^2, entonces

 

y(4) = K1 (2)^(-3) + K2 2^(-1)

 

igualando al valor y0 = 1/2 tenemos

 

K1 (2)^(-3) + K2 2^(-1) = 1/2  ... (eq1)

 

De esta ecuación (eq1)

 

2^(-3) K1 = 2^(-1) - K2 2^(-1) ==> K1 =  2^(2) [ 1- K2 ]

 

K1 = 4(1-K2)    ...(eq2)

 

No conocemos K2 aún. Para determinarla, veamos la derivada de y(t)

 

y'(t) = (-3/2) K1 t^(-5/2) - (1/2) K2 t^(-3/2).

 

ahora en t=4

 

y'(4) =  [-3/2 K1 4^(-5/2) - 1/2 K2 4^(-3/2)

 

usando 4=2^2

 

y'(4) =  [-3 K1 2^(-5) - K2 2^(-3)] / 2.

 

mientras que con el valor inicial y1 = -1/6

 

 -3/2 K1 2^(-5) - 1/2 K2 2^(-3) = -1/6   ...  (eq3)

 

 y mult por (-2):

 

3 K1 2^(-2) + K2 = 2^(3)/3   ...  (eq3)

 

sustituyendo K1 de la (eq2), en esta  (eq3)

 

   3 * [ 2^(2) (1- K2 )]*2^(-2)  +  K2  =  3 *(1- K2 ) + K2 = 2^(3) /3

 

   3 - 2K2 = 2^(3) /3

 

despejando K2:

 

K2 = 1/2 [ 3 - 2^(3) /3 ]

 

es decir

 

K2 = 1/2 [ 3 - 8/3 ] = 1/2 [ 1/3 ] = 1 / 6; 

 

por lo tanto 

 

K1 = 4*[1 - 1/6 ] / 2 =  20/6 = 10/3.

 

La solución para los valores inicales  y0 = 1/2, y1 = -1/6 en t=4 es, entonces : 

 

y(t) = (10/3)  t^(-3/2) + (1/6) t^(-1/2)