SISTEMAS DINÁMICOS

Introducción

 

1.1) DEFINICIÓN

 

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida f de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, f = f(x), la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable f = f(x,y,z,...)la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

 

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

dy/dx = 2x

 

La variable independiente (v. i) es "x"

La variable dependiente (v. d) es "y"

 

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

 

d²V/dt² + 2 d²V/dx² = V

 

Las variables independientes (v. i) son "x" y "t"

La variable dependiente (v. d) es V (x,t)

 

1.2) ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

 

El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo

y'' + y' + y = sen(x)      es de orden 2 por y''

(x+y)dx=(y-x)dy                  es de orden 1 por dx,dy

 

1.3) GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

 

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.

 

exp[x] d²y/dx² + (1-x) dy/dx            2 orden --- 1er grado

(d³y/dx³)² + 2(d²y/dx²)⁵-xy=0               3er orden --- 2 grado

 

Solución de una ecuación diferencial

 

Una función dada f  y sus derivadas f',f'',... se sustituye en la ecuación diferencial

 

si la ecuación se cumple, f se llama una solución de la ecuación diferencial,

 

por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se cumplela igualdad.

 

2.1) FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

 

Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.

 

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

dy/dx=2x.

Escribimos:

 

dy = 2xdx

Integrando en ambos lados:

Int[dy]=Int[2xdx]

 

y = x² + K   

 

(K: constante)

 

La expresión y = x² + K es llamada una "función primitiva" de la ecuación diferencial.

Verificación

y'=d(x²+K)/dx=2x

 

Observación: Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.

 

2.2) PROBLEMA DE VALOR INICIAL

 

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución y(t) a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función y sus derivadas.

Estas condiciones son especificadas en un valor de la variable independiente, t = t0.

 

Tales condiciones se llaman las condiciones iniciales.

 

2.2.1) PROBLEMA DE VALOR DE FRONTERA

 

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución y(t) a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida.

Estas condiciones son especificadas en dos o más valores de la variable independiente: t1, t2,...

 

Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

 

Ejemplo ilustrativo

Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (t,y) de ella es igual a 2t. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5)

Solución:

Tenemos

dy/dt=2t

 

dy=2dt

Integrando ambos términos:

y(t)=t² + K

como y(t0=2)=5

 

5 = (2)²+K

 

5 = 4+K

 

K=5-4=1

 

es decir la solución particular corresponde a K=1:

 

y(t)=t² + 1.

 

2.3) DESCRIPCIÓN DE UNA FAMILIA DE CURVAS

 

Gráficamente, 

 

y(t)=t² + K

 

representa una familia de curvas. Cada miembro de la familia está asociado a un valor de K.

 

(<< *********VER IMAGEN *************)

 

2.3) ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

 

Una ecuación diferencial es lineal si se puede escribir de la forma

 

an(t)d^ny/dt^n +...+a2(t) d²y/dt² + a1(t) dy/dt + a0(t)y0 = 0 

 

donde an, ...a2,a1,a0 son funciones de t.

 

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

 

3.1) ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES

 

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

 

 dy/dx= (y+3)/(x-4)

 

Solución.

Para poder integras, separamos

 

dy/(y+3)=dx/(x-4)

 

e integramos

 

ln|y+3| = ln |x-4| + ln C

y = K(x-4) - 3.

 

(en este caso la solución es explícita).

 

Soluciones Particulares

Si (K=1)  =>  y = x-7

 

Si (K=-2)  => y=-2(x-4)-3

 

y= -2x+5

 

Graficando en Graph

 

Comprobación

dy/dx = d/dx [(K(x-4) -3)] = K

pero 

K =(y+3)/ (x-4)

por tanto

dy/dx = (y+3)/ (x-4)

 

3.2) ECUACIONES HOMOGÉNEAS

 

Una ecuación diferencial es homogénea si no tiene términos que dependen únicamente de su variable independiente. 

 

Ejemplos:

 

 

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación:

 

Resolución:

En una ecuación diferencial homogénea se realiza el cambio

 

Integrando

 

Graficando para un valor arbitrario C = 1

 

3.3) ECUACIONES EXACTAS

 

Resolver la ecuación

 

Resolución

 

Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplir la condición

 

Como cumple la condición se trata de una ecuación diferencial exacta

 

Se Iguala las dos derivadas con respecto a y.

 

Graficando la solución de la ecuación diferencial para C = 1

 

3.4) ECUACIONES CON FACTORES INTEGRANTES

 

Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para ecuaciones diferenciales exactas

Para obtener los factores de integración se pueden emplear las siguientes reglas:

 

Ejemplo ilustrativo: Resolver la siguiente ecuación diferencial

 

Solución

Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son:

 

Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta.

Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas dividida para N es una función de "x" se aplica:

 

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración "x" se tiene una ecuación diferencial equivalente

 

Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta.

Como la nueva ecuación diferencial es exacta se procede a resolverla como en casos anteriores. Esta solución queda como tarea para el lector.

 

3.5) ECUACIONES LINEALES

Resolver las siguientes ecuaciones lineales

 

Solución

 

Es una ecuación lineal en "y"

Como la solución es

 

Graficando para un valor arbitrario de C = 1

 

 

Es una ecuación lineal en "x"

Como la solución es

 

Propiedad conmutativa en los exponentes

 

Graficando para un valor arbitrario de C = 1

 

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

 

4.1) LA SOLUCIÓN GENERAL COMO COMBINACIÓN LINEAL DE SOLUCIONES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Definición de independencia lineal

 

Ejemplos:

 

Proceso de solución

 

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación diferencial

 

Solución:

 

Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

 

Para comprobar la respuesta, se deriva la función, para lo cual en GeoGebra

a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas opciones.

 

b) Se escoge la opción Derivada[(Función)]

 

c) Escribir f(x)

 

d) Enter. Clic en la círculo de g(x) para que se borre la gráfica de g(x).

 

Para calcular la segunda derivada de f(x), se deriva g(x) y se obtiene

 

 

 

Como se quería comprobar

4.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:

 

Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general

 

Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.

1) Primer caso: raíces reales y diferentes

 

Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial

 

Solución:

 

Ejemplo 2

Resolver la ecuación

 

Solución

 

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es

 

Resolviendo el sistema

 

Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular

 

Graficando la solución particular se tiene

 

2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales

 

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

 

Solución:

 

3) Tercer caso: raíces complejas

 

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

 

Solución:

 

 

4.3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma

 

Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes

 

Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados.

 

Ejemplos:

 

Ejemplos:

 

Ejemplos:

 

Ejemplos ilustrativos

Hallar la solución general de

 

Solución:

 

Resolviendo la ecuación auxiliar

 

La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,

 

Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces

 

Ecuaciones diferenciales de orden superior

5.1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

 

Principio de Superposición o linealidad

 

También es solución de dicha ecuación diferencial

Dependencia e Independencia lineal

 

En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.

Wronskiano

Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

 

Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.

 

Ejemplo ilustrativo

 

5.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:

 

Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.

1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes

 

2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales

 

3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,

 

Ejemplos ilustrativos

 

 

2) Comprobar que

 

Solución

 

Remplazando valores en

 

Como se quería comprobar

3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:

 

Solución:

Se observa que

 

Entonces

 

5.3) ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

 

Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes

 

Ejemplos

 

 

Casos especiales tomando en cuenta las raíces de la ecuación auxiliar

Ejemplos ilustrativos

 

 

Casos especiales tomando en cuenta la multiplicidad

Ejemplos ilustrativos

 

 

Se debe vericar la multiplicidad en forma individual

 

Notas:

Una vez obtenida la complementaria y la ecuación particular se procede a resolver como en casos anteriores

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuaciones-diferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml#ixzz3j8pcwn4P